08 de Novembro - 15 horas"Elementos ideais e a sua remoção"
Resumo: O programa de Hilbert tinha como objetivo a remoção de elementos (infinitários) ideais em matemática. A intenção do programa era reduzir a matemática infinitária (por exemplo, a teoria dos conjuntos) a uma matemática “segura”, de cariz finitário. O programa foi refutado pelo segundo teorema da incompletude de Gödel. Nesta palestra, iremos brevemente discutir três atitudes perante os elementos ideais na matemática: a sua aceitação, a sua evitação e a sua remoção. A remoção de elementos ideais usa a teoria de demonstração, uma disciplina inventada pelo próprio Hilbert. Esta técnica de remoção tem encontrado aplicações à teoria da análise não linear desde finais da década de oitenta (mineração de demonstrações de Kohlenbach). Através da análise do teorema da convergência forte de Browder (1967), ilustraremos uma remoção recentissima com várias aplicações.
"Ideal elements and their removal"
Abstract: Hilbert’s programme aimed at the removal of (infinitistic) ideal elements in mathematics. It wanted to reduce infinitistic mathematics (e.g., set theory) to a “safe” finitary mathematics. The programme was refuted by Gödel’s second incompleteness theorem. In this talk, we will briefly describe three positions towards ideal elements in mathematics: embracing them, avoiding them and removing them. The removal of ideal elements is made possible by Proof Theory, an area of research invented by Hilbert himself. This removal technique has found applications in nonlinear analysis since the end of the eighties (Kohlenbach’s Proof Mining). Using the analysis of Browder’s strong convergence theorem (1967), we illustrate a very recent removal, apparently with many applications.